Случайная величина — числовая функция, значение которой зависит от исхода случайного эксперимента. Она сопоставляет каждому элементарному исходу вещественное число. Понятие формализовано Андреем Колмогоровым в 1933 году как измеримая функция на вероятностном пространстве.
Представьте бросок двух игральных костей. Сумма очков — случайная величина: она может быть 2, 3, ..., 12, но какое значение выпадет — заранее неизвестно. Это как термометр на улице: температура — случайная величина, её значение зависит от множества факторов (погода, время суток, ветер).
Дискретные случайные величины
Дискретная случайная величина принимает конечное или счётное множество значений. Её свойства описываются распределением вероятностей — таблицей или формулой, показывающей вероятность каждого значения.
Пример: Число орлов при трёх бросках монеты. Возможные значения: 0, 1, 2, 3. Вероятности: P(X=0) = 1/8, P(X=1) = 3/8, P(X=2) = 3/8, P(X=3) = 1/8.
Математическое ожидание E(X) — среднее значение при бесконечном повторении эксперимента: E(X) = Σ xᵢ × P(X=xᵢ). Для примера выше: E(X) = 0×1/8 + 1×3/8 + 2×3/8 + 3×1/8 = 1,5.
Дисперсия D(X) — мера разброса значений вокруг среднего: D(X) = E((X - E(X))²). Стандартное отклонение σ = √D(X) показывает типичное отклонение от среднего.
Непрерывные случайные величины
Непрерывная случайная величина принимает любые значения в интервале (бесконечно много). Её распределение задаётся функцией плотности вероятности f(x): вероятность попадания в интервал [a, b] равна ∫ₐᵇ f(x)dx.
Пример: Время ожидания автобуса (от 0 до 20 минут) — равномерное распределение. Плотность f(x) = 1/20 при 0 ≤ x ≤ 20. Вероятность ждать от 5 до 10 минут: ∫₅¹⁰ (1/20)dx = 5/20 = 0,25.
Функция распределения F(x) = P(X ≤ x) показывает вероятность, что величина не превысит x. Для дискретных величин F(x) — ступенчатая функция, для непрерывных — гладкая (производная F(x) = f(x)).
Числовые характеристики
Математическое ожидание: E(X) = ∫₋∞^∞ x × f(x)dx для непрерывных величин. Свойства: E(aX + b) = aE(X) + b, E(X + Y) = E(X) + E(Y).
Дисперсия: D(X) = E(X²) - (E(X))². Свойства: D(aX + b) = a²D(X), D(X + Y) = D(X) + D(Y) только для независимых X и Y.
Медиана x₀.₅ — значение, которое величина превышает с вероятностью 50%: P(X ≤ x₀.₅) = 0,5. Для симметричных распределений медиана = математическое ожидание.
Мода — наиболее вероятное значение (максимум плотности f(x) для непрерывных величин).
Многомерные случайные величины
Случайный вектор (X, Y) — пара случайных величин. Совместное распределение задаёт вероятности P(X=x, Y=y) (дискретный случай) или плотность f(x, y) (непрерывный). Маргинальное распределение X получается суммированием (интегрированием) по Y.
Ковариация cov(X, Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y))) измеряет линейную связь. Если cov(X, Y) > 0 — положительная связь (X растёт → Y растёт), < 0 — отрицательная, = 0 — некоррелированы (но могут быть зависимы нелинейно).
Коэффициент корреляции ρ(X, Y) = cov(X, Y) / (σₓ × σᵧ) — нормированная ковариация, |ρ| ≤ 1. При ρ = 1 связь линейная (Y = aX + b), при ρ = 0 некоррелированы.
Преобразования случайных величин
Если Y = g(X), где g — известная функция, распределение Y выражается через распределение X. Для монотонной g плотность f_Y(y) = f_X(x) / |g'(x)|, где x = g⁻¹(y).
Пример: X ~ U(0, 1) (равномерное на [0, 1]), Y = -ln(X). Тогда Y имеет экспоненциальное распределение с параметром λ=1. Это используется в генераторах псевдослучайных чисел.
Применение в науке
Физика: Координата частицы в броуновском движении — случайная величина с нормальным распределением (Эйнштейн, 1905). Энергия молекул газа подчиняется распределению Максвелла-Больцмана.
Финансы: Доходность акций моделируется случайной величиной. Модель Блэка-Шоулза (1973) предполагает логнормальное распределение цены акции, из чего выводится формула оценки опционов.
Информатика: Время выполнения алгоритма на случайных данных — случайная величина. Анализ средней сложности (например, быстрой сортировки O(n log n)) использует математическое ожидание числа сравнений.
Генерация случайных величин
Компьютеры генерируют псевдослучайные числа (последовательность детерминирована, но похожа на случайную). Алгоритм Mersenne Twister (1997) даёт равномерное распределение на [0, 1). Для других распределений используют преобразования:
Метод обратной функции: Если U ~ U(0, 1), то X = F⁻¹(U) имеет распределение F. Пример: экспоненциальное X = -ln(1 - U) / λ.
Метод Бокса-Мюллера: Генерация нормального распределения из двух равномерных: X = √(-2 ln U₁) × cos(2πU₂), Y = √(-2 ln U₁) × sin(2πU₂).
Связь с реальными процессами
Случайные величины — математическая абстракция для описания неопределённости. Высота человека (нормальное распределение), число звонков в колл-центр за час (Пуассон), время безотказной работы лампочки (экспоненциальное) — примеры случайных величин в реальном мире.