Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия — раздел математики, изучающий геометрические объекты (точки, прямые, кривые, поверхности) через алгебраические уравнения в системе координат. Основана Рене Декартом и Пьером Ферма в 1630-х годах.

До XVII века геометрия и алгебра существовали раздельно. Евклид доказывал теоремы через построения циркулем и линейкой. Арабские математики решали уравнения, не касаясь фигур. Декарт объединил их: каждой точке на плоскости — пара чисел (x, y), каждой кривой — уравнение. Революция в мышлении.

Прямая: простейшее уравнение

Прямая на плоскости: ax + by + c = 0. Три коэффициента определяют положение и наклон. Частные случаи: y = kx + b (угловой коэффициент k), x = const (вертикальная прямая), y = const (горизонтальная).

Две прямые параллельны ⇔ k₁ = k₂. Перпендикулярны ⇔ k₁·k₂ = -1. Контринтуитивный факт: уравнение прямой в пространстве — не одно, а система двух уравнений (пересечение двух плоскостей).

Конические сечения: окружность, эллипс, парабола, гипербола

Окружность: (x - a)² + (y - b)² = r². Эллипс: (x/a)² + (y/b)² = 1 — орбиты планет (законы Кеплера, 1609), Солнце в одном фокусе. Парабола: y = ax² — траектория брошенного тела. Гипербола: (x/a)² - (y/b)² = 1 — траектория кометы, пролетающей мимо Солнца без возврата.

Векторы: геометрия через алгебру

Вектор — направленный отрезок, задаётся координатами: v = (x, y). Длина: ||v|| = √(x² + y²). Скалярное произведение: v·w = x₁x₂ + y₁y₂ = ||v|| · ||w|| · cos(θ). Если v ⊥ w, то v·w = 0.

Компьютерная графика строится на преобразованиях: 3D модель → матрицы поворота, масштаба, проекции → 2D изображение на экране. OpenGL, DirectX — всё линейная алгебра.