Треугольник — базовая фигура геометрии
Треугольник — простейший многоугольник: три точки, не лежащие на одной прямой, соединённые отрезками. Несмотря на кажущуюся простоту, треугольники — основа геометрии, триангуляции, строительства и навигации. Именно треугольники жёстки по форме (не деформируются при нагрузке), поэтому их используют в конструкциях мостов, башен, кровель.
Виды треугольников
По сторонам: равносторонний (все три стороны равны, все углы по 60°), равнобедренный (две стороны равны), разносторонний (все стороны разные).
По углам: остроугольный (все углы острые), прямоугольный (один угол равен 90°), тупоугольный (один угол больше 90°).
Основные свойства
Сумма углов любого треугольника равна 180°. Это фундаментальное свойство, из которого следует многое: например, в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60°, в прямоугольном сумма двух острых углов равна 90°.
Сторона треугольника меньше суммы двух других сторон (неравенство треугольника). Против большего угла лежит большая сторона.
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: a² + b² = c². Это одна из самых известных теорем математики — известно более 370 различных доказательств. Теорема Пифагора лежит в основе вычисления расстояний, координатной геометрии и многих инженерных расчётов.
Площадь треугольника
Формул площади несколько: S = ½·a·h (полуоснование на высоту), S = ½·ab·sinC (половина произведения двух сторон на синус угла между ними), формула Герона: S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)), где p — полупериметр. Выбор зависит от того, что известно.
Признаки равенства треугольников
Треугольники равны, если совпадают: (1) сторона, угол, сторона; (2) угол, сторона, угол; (3) сторона, сторона, сторона. Признаки подобия треугольников: два угла равны; стороны пропорциональны; угол и прилежащие стороны пропорциональны. Подобие широко используется в геодезии и навигации.