💻Алгоритм Дейкстры

Поиск кратчайшего пути из источника во все вершины во взвешенном графе с неотрицательными весами. Жадный алгоритм с priority queue. Сложность O((V + E) log V) с кучей. Эдсгер Дейкстра, 1956.

📖6 мин чтения📊Уровень 6🗺️5 подтем📅16 апреля 2026 г.

Загрузка карты...

Дейкстра с приоритетной очередью
Реализация с min-heap (binary heap, Fibonacci heap). Извлечение минимума O(log V), обновление расстояний O(log V). Общее время O((V+E) log V). Без heap: O(V²), эффективно для плотных графов.
Реализация алгоритма Дейкстры
Кратчайшие пути от одной вершины s: поддерживаем dist[v] (расстояние от s), prev[v] (предыдущая вершина), приоритетную очередь (min-heap по dist). Алгоритм: dist[s]=0, остальные ∞, добавляем s в PQ. Извлекаем u с минимальным dist, для каждого соседа v релаксируем ребро (если dist[u]+w(u,v) < dist[v], обновляем dist[v] и prev[v], добавляем v в PQ). Сложность: O((V+E) log V) с бинарной кучей, O(V²) с массивом (лучше для плотных графов), O(V log V + E) с Fibonacci heap (теоретически, практически медленнее)
A* поиск
Оптимизация Дейкстры для поиска пути к конкретной цели: добавляем эвристическую функцию h(v) (оценка расстояния от v до цели), используем f(v) = g(v) + h(v) для приоритета (g(v) — реальное расстояние от старта). Требования к h: admissible (не переоценивает, h(v) ≤ истинное расстояние), consistent (h(u) ≤ cost(u,v) + h(v)). Эвристики: Euclidean distance (√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²]) для 2D grid, Manhattan distance (|x₁-x₂|+|y₁-y₂|) для grid с 4 направлениями. Применение: игры (pathfinding), навигация (Google Maps), роботы
A* — эвристический поиск
Расширение Дейкстры с эвристикой h(n): f(n) = g(n) + h(n), где g — стоимость пути, h — оценка до цели. Эвристика допустима (h ≤ реальная), если h(goal) = 0. Находит оптимальный путь быстрее.
Сравнение с Bellman-Ford
Дейкстра: требует неотрицательные веса (иначе неправильный результат), O((V+E) log V), жадный алгоритм (выбираем ближайшую вершину). Bellman-Ford: работает с отрицательными весами, детектирует отрицательные циклы, O(VE) — медленнее. Почему Дейкстра не работает с отрицательными: пометив вершину как обработанную, позже может найтись более короткий путь через отрицательное ребро. Пример: s→a (1), s→b (4), a→b (-3) → Дейкстра найдёт s→b = 4, пропустив s→a→b = -2. Применение: Bellman-Ford для графов с отрицательными весами (arbitrage detection)

Алгоритм Дейкстры

Простыми словами

Алгоритм Дейкстры — это способ понять, как в этой сфере устроены правила, решения и реальные последствия для людей.

Более точно

Алгоритм Дейкстры — предметная область общественного знания, описывающая устойчивые механизмы взаимодействия участников, норм и институтов.

Зачем это нужно

Тема нужна, чтобы принимать более точные решения в контексте раздела «Графы»: видеть структуру проблемы, ограничения и рабочие инструменты.

Примеры

Практический разбор включает кейсы, сравнение сценариев и проверку результата по понятным критериям.

Частые ошибки

Чаще всего ошибаются из-за упрощения причин, игнорирования контекста и отсутствия проверяемых критериев результата.

Связанные понятия

Поиск в ширину (BFS)Поиск в глубину (DFS)Минимальное остовное деревоАлгоритм Беллмана-Форда

❓Часто задаваемые вопросы

Алгоритм Дейкстры — это тема о правилах, механизмах и практиках в своей области. Она помогает понять, как принимаются решения и к каким последствиям они приводят.

🔗Узнать больше

YouTube

Что такое Алгоритм Дейкстры Лекция об алгоритм дейкстры Алгоритм Дейкстры: разбор