От землемерия к абстракции
Слово «геометрия» буквально — «измерение земли» (греч. geo + metria). Египтяне около 3000 до н.э. размечали поля после разливов Нила: площадь прямоугольника, объём зернохранилища, наклон грани пирамиды. Но превратил ремесло в науку Евклид Александрийский, около 300 до н.э. составивший «Начала» — 13 книг, выводящих 465 теорем из 5 аксиом. «Начала» оставались учебником более 2000 лет, уступив по числу изданий только Библии.
Пятый постулат и революция
Четыре аксиомы Евклида воспринимались как самоочевидные: через две точки проходит прямая, все прямые углы равны. Пятая — о параллельных прямых — казалась сложнее: через точку вне прямой можно провести ровно одну параллельную ей прямую. Два тысячелетия математики пытались доказать пятый постулат через остальные.
Николай Лобачевский (1826) и Янош Больяи (1832) независимо показали: если допустить более одной параллельной, получается непротиворечивая гиперболическая геометрия. Поверхность отрицательной кривизны (седловидная) — модель такой геометрии. Сумма углов треугольника в ней меньше 180°.
Бернхард Риман (1854) пошёл дальше: если параллельных нет вообще — получается эллиптическая геометрия (поверхность сферы). Сумма углов треугольника больше 180°. Рейс Москва — Нью-Йорк — Лондон образует сферический треугольник с суммой углов около 270°.
Альберт Эйнштейн использовал риманову геометрию для общей теории относительности (1915): массивные объекты искривляют пространство-время, и планеты движутся по геодезическим линиям в искривлённой геометрии.
Топология: геометрия без линейки
Леонард Эйлер в 1736 году решил задачу о Кёнигсбергских мостах: можно ли обойти 7 мостов, пройдя по каждому ровно один раз? Доказал, что нельзя, — и попутно заложил основы топологии и теории графов.
Топология изучает свойства, сохраняющиеся при непрерывных деформациях — растяжении, сжатии, скручивании (но не разрезании и не склеивании). Кружка с ручкой топологически эквивалентна тору (бублику): обе имеют ровно одно отверстие. Но кружка не эквивалентна шару — у шара нет отверстий.
Лента Мёбиуса (1858) — поверхность с одной стороной и одним краем. Возьмите бумажную полоску, перекрутите на 180° и склейте концы. Муравей, ползущий по ленте, обойдёт «обе стороны», не пересекая края.
Бутылка Клейна (1882) — замкнутая поверхность без края и без «внутренней стороны». В трёхмерном пространстве невозможна без самопересечения, но существует в четырёхмерном.
Гипотеза Пуанкаре
Анри Пуанкаре в 1904 году предположил: любое замкнутое трёхмерное многообразие, в котором любая петля может быть стянута в точку, гомеоморфно сфере. Проще: если на поверхности любой резиновый шнурок можно «стянуть» — это сфера (пусть и деформированная).
Доказательство нашёл Григорий Перельман в 2002–2003 годах, используя поток Риччи (эволюция метрики, сглаживающую кривизну). Перельман отказался от премии Филдса и миллиона долларов от Института Клэя. Это одна из семи «задач тысячелетия» — и единственная решённая.
Применение
Дифференциальная геометрия — язык общей теории относительности и теории струн. Алгебраическая топология используется в анализе данных (topological data analysis, TDA): находит «дыры» и кластеры в многомерных данных, невидимые для классической статистики. Узловая теория помогает биологам понимать структуру ДНК, а криптографам — строить эллиптические кривые для шифрования.