Что такое предел функции
Предел — фундаментальное понятие математического анализа. Неформально: предел функции f(x) при x → a равен L, если значения f(x) сколь угодно близко подходят к L по мере того, как x приближается к a (но не равно a). Именно через пределы определяют производные, интегралы и непрерывность — три кита анализа.
Формальное определение (Коши)
lim f(x) = L при x → a означает: для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что при 0 < |x − a| < δ выполняется |f(x) − L| < ε. Это «ε-δ» определение — стандарт строгой математики. На практике пределы вычисляют по правилам, не прибегая к нему каждый раз.
Правила вычисления
Предел суммы = сумма пределов. Предел произведения = произведение пределов. Предел частного = частное пределов (если знаменатель ≠ 0). Предел сложной функции = сложная функция от предела (при непрерывности внешней функции).
Для рациональных функций при x → a достаточно подставить значение: lim(3x+2) при x→1 = 5. Проблема возникает, когда подстановка даёт неопределённость: 0/0, ∞/∞, 0·∞...
Раскрытие неопределённостей
Неопределённость 0/0 часто раскрывается разложением на множители или сокращением. Например: lim (x²−1)/(x−1) при x→1 = lim (x+1)(x−1)/(x−1) = lim (x+1) = 2. Правило Лопиталя: если есть неопределённость 0/0 или ∞/∞, можно взять производные числителя и знаменателя.
Замечательные пределы
Два важнейших предела: lim (sin x)/x = 1 при x→0 (первый замечательный предел) и lim (1 + 1/x)ˣ = e при x→∞ (второй замечательный предел — определение числа e ≈ 2,718). Через них выражаются многие другие пределы.