Что такое матрица
Матрица — прямоугольная таблица чисел, расположенных по строкам и столбцам. Матрица размера m×n имеет m строк и n столбцов. Матрицы — удобный способ записывать и обрабатывать большие объёмы числовых данных. Они используются везде: в решении систем уравнений, компьютерной графике (повороты и масштабирование 3D-объектов), машинном обучении, квантовой механике.
Основные операции
Сложение: складывают только матрицы одинакового размера, поэлементно. A + B = матрица, где каждый элемент cᵢⱼ = aᵢⱼ + bᵢⱼ.
Умножение на число: каждый элемент умножается на это число.
Умножение матриц: А·B возможно только если число столбцов A равно числу строк B. Элемент результирующей матрицы cᵢⱼ = сумма произведений i-й строки A и j-го столбца B. Важно: умножение матриц некоммутативно: A·B ≠ B·A в общем случае.
Транспонирование: строки становятся столбцами. (Aᵀ)ᵢⱼ = Aⱼᵢ.
Специальные матрицы
Единичная матрица E — квадратная, на главной диагонали 1, остальные 0. A·E = E·A = A. Нулевая матрица — все элементы нули. Обратная матрица A⁻¹: A·A⁻¹ = E (аналог деления для матриц). Существует только для квадратных матриц с ненулевым определителем.
Применения
Системы линейных уравнений записываются в матричном виде Ax = b и решаются как x = A⁻¹b. В компьютерной графике матрицы 4×4 задают повороты, масштабирование и перспективную проекцию 3D-объектов. В машинном обучении нейронные сети — по сути, последовательности матричных умножений.