Уравнение прямой в аналитической геометрии
Аналитическая геометрия — мост между алгеброй и геометрией. Прямая в системе координат задаётся уравнением — алгебраическим выражением, которому удовлетворяют все точки прямой и только они. Это позволяет решать геометрические задачи алгебраическими методами и наоборот. Декарт, создавший аналитическую геометрию, соединил два ранее разрозненных мира математики.
Формы уравнения прямой
Общее уравнение: Ax + By + C = 0, где A, B, C — числа (A и B не оба нули). Любая прямая записывается в этой форме.
Уравнение с угловым коэффициентом: y = kx + b, где k — угловой коэффициент (тангенс угла наклона к оси Ox), b — свободный член (y-пересечение). Вертикальная прямая не имеет углового коэффициента.
Уравнение через точку и наклон: y − y₀ = k(x − x₀), где (x₀, y₀) — данная точка.
Уравнение через две точки: (y − y₁)/(y₂ − y₁) = (x − x₁)/(x₂ − x₁).
Параллельные и перпендикулярные прямые
Две прямые y = k₁x + b₁ и y = k₂x + b₂ параллельны, если k₁ = k₂ (одинаковый наклон) и b₁ ≠ b₂. Перпендикулярны, если k₁·k₂ = −1. Это важный инструмент: для построения перпендикуляра берут наклон −1/k.
Расстояние от точки до прямой
Расстояние от точки M₀(x₀, y₀) до прямой Ax + By + C = 0: d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²). Формула используется в геометрии, физике (расстояние до границы) и компьютерной графике.