Интегралы

Интеграл — обратная операция к дифференцированию. Неопределённый ∫f(x)dx находит функцию F(x), производная которой равна f(x). Определённый ∫ₐᵇf(x)dx вычисляет площадь под графиком от a до b. Формула Ньютона-Лейбница (1666) связывает оба: ∫ₐᵇf(x)dx = F(b) − F(a).

Как найти площадь фигуры с криволинейной границей? Разбить на тонкие прямоугольники, сложить площади, устремить ширину к нулю — получится интеграл. Архимед (III век до н.э.) вычислял площадь круга именно так, разбивая на бесконечное число треугольников. Но строгая теория появилась только с Ньютоном и Лейбницем.

Неопределённый интеграл: обратная производная

Задача: найти функцию F(x), производная которой F'(x) = f(x). Функция F(x) называется первообразной для f(x).

Пример: f(x) = 2x. Первообразная F(x) = x² (потому что (x²)' = 2x). Но также F(x) = x² + 5, x² − 3, x² + любая константа. Отсюда запись: ∫2x dx = x² + C, где C — произвольная константа.

Таблица интегралов:
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1)
∫e^x dx = e^x + C
∫sin x dx = −cos x + C
∫cos x dx = sin x + C
∫1/x dx = ln|x| + C

Определённый интеграл: площадь под кривой

Определённый интеграл ∫_a^b f(x) dx — число, равное площади между графиком f(x), осью X и прямыми x = a, x = b.

Пример: ∫₀² x dx. Геометрически — площадь треугольника с основанием 2 и высотой 2. Площадь = 1/2 × 2 × 2 = 2. Проверка через формулу: F(x) = x²/2, тогда F(2) − F(0) = 4/2 − 0 = 2 ✓

Формула Ньютона-Лейбница: Если F'(x) = f(x), то ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a).

Это связывает производную и интеграл: вместо бесконечного суммирования прямоугольников достаточно вычислить разность двух чисел.

Методы интегрирования

Замена переменной: Упрощение интеграла через подстановку. ∫2x × sin(x²) dx → замена u = x², du = 2x dx → ∫sin u du = −cos u + C = −cos(x²) + C.

Интегрирование по частям: ∫u dv = uv − ∫v du. Используется для произведений функций. Пример: ∫x × e^x dx → u = x, dv = e^x dx → x × e^x − ∫e^x dx = x × e^x − e^x + C.

Разложение на простейшие: Для дробей вида P(x)/Q(x), где P и Q — многочлены. Разбиваем на сумму простых дробей, каждую интегрируем отдельно.

Применения интегралов

Физика: работа силы. Работа A = F × s (сила × путь) для постоянной силы. Для переменной силы F(x): A = ∫_a^b F(x) dx. Пример: сжатие пружины (F = kx) на 10 см: A = ∫₀^0,1 kx dx = k × 0,01/2 Дж.

Вероятность. Вероятность попадания в интервал [a, b] для непрерывной случайной величины: P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx, где f(x) — плотность вероятности. Нормальное распределение: ∫_−∞^+∞ f(x) dx = 1 (вся вероятность).

Объём тела вращения. Вращаем график f(x) вокруг оси X. Объём V = π ∫_a^b f²(x) dx. Пример: вращение y = x от 0 до 1 даёт конус: V = π ∫₀¹ x² dx = π/3.

Экономика: потребительский излишек. Площадь между кривой спроса и ценой — выгода покупателей. Вычисляется интегралом.

Численное интегрирование

Не все интегралы можно вычислить аналитически. Пример: ∫e^−x² dx (функция ошибок erf) не имеет простой формулы. Используют численные методы:

Метод прямоугольников: Разбиваем [a, b] на n частей, складываем площади прямоугольников. Чем больше n, тем точнее.

Метод трапеций: Вместо прямоугольников — трапеции. Точнее прямоугольников.

Метод Симпсона: Аппроксимация параболами. Высокая точность при малом числе шагов.

Все калькуляторы и программы (MATLAB, Python scipy.integrate) используют эти методы.

Интегралы в машинном обучении

Нормализация вероятностных распределений: ∫ p(x) dx = 1. Вариационные автоэнкодеры (VAE) оптимизируют интеграл по скрытому пространству.

Ожидаемое значение E[X] = ∫ x × p(x) dx. Используется в reinforcement learning для оценки стратегий.